【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】『数理化自学丛书』其实还有新版，即80年代的改开版，改开版内容较新而且还又增添了25本大学基础自学内容，直接搞出了一套从初中到大学的一条龙数理化自学教材大系列。不过我依然选择6677版，首先是因为6677版保留了很多古早知识，让我终于搞明白了和老工程师交流时遇到的奇特专业术语和计算模式的来由。另外就是6677版的版权风险极小，即使出版社再版也只会再版80年代改开版。我认为6677版不失为一套不错的自学教材，不该被埋没在故纸堆中，是故才打算利用业余时间，将『数理化自学丛书6677版』上传成文字版。 

【资料图】

第五章变速直线运动

§5-3匀变速直线运动的速度和路程

【01】上面我们讲了匀变速直线运动，这种运动的特点是：它在任意相等时间内速度的改变总是相等的。现在我们来讨论匀加速直线运动的速度和路程。

【02】为了使读者容易了解起见，我们把匀加速直线运动分为两类：一类是物体从静止开始（即初速度为零）作匀加速直线运动，即初速度等于零的匀加速直线运动；另一类是初速度不等于零的匀加速直线运动。现在先来讨论第一类。

1、初速度等于零的匀加速直线运动

【03】首先，我们要再重复讲一遍，匀加速直线运动是在任何相等的时间内速度的增加都相等的运动，也就是说，它的加速度是不变的。

【04】让我们设想有一列火车从某车站开出，作匀加速直线运动，加速度是0.2米/秒²，也就是说火车的速度每1秒钟增加0.2米/秒。所以火车在各秒钟末的速度是：

第1秒末：v₁=0+0.2米/秒=0.2米/秒=0.2米/秒²×1秒；

第2秒末：v₂=0.2米/秒+0.2米/秒=0.4米/秒=0.2米/秒²×2秒；

第3秒末：v₃=0.4米/秒+0.2米/秒=0.6米/秒=0.2米/秒²×3秒；

……

第t秒末：vt=0.2米/秒²×t 秒。

【05】这样，如果用a代表加速度，则第t秒末的速度就可以用下式来表示：vt=at 。一般把vt写作v，则

【06】这就是初速度等于零的匀加速直线运动的速度公式。应用这个公式可以计算任何时刻的速度。必须明确，这个公式中的t代表经过的时间，v是这一时间终了时的即时速度。例如如果t代表5秒，那么v就是5秒末的即时速度，而不是任何其他时刻的即时速度。

【07】我们再来讨论它的路程公式。在本章§5-1中，根据公式(5·2)已经知道，作变速直线运动的物体在时间t内所通过的路程，等于它的平均速度和这段时间t的乘积。现在物体的运动是匀加速直线运动，速度的增加是均匀的，因此，在某一段时间内的平均速度应该等于物体在这段时间内的初速度和末速度的平均值。既然物体的初速度等于零，第t秒末的速度等于v，那么，它在这段时间内的平均速度就应该等于 。再用公式(5·3)v=at，得

【08】这就是初速度等于零的匀加速直线运动的路程公式。应用这个公式，我们可以求出在任何一段时间内物体所通过的路程。公式(5·4)告诉我们，在初速度为零的匀加速直线运动中，物体通过的路程总跟时间的平方成正比，例如时间增为两倍，路程将增为4倍，时间增为3倍，路程将增为9倍。我们常常根据这个关系来检验物体的运动是不是初速度为零的匀加速直线运动。

【09】公式(5·3)和(5·4)就是初速度等于零的匀加速直线运动的运动规律的数学表达式。这里包含了四个物理量：v、a、t、S。知道其中任何两个，就可以求出其他两个。所以关于这种运动的一切问题，都可以用它们来解答。

【10】把公式(5·3)和(5·4)中的t消去后，可得

【11】这个导出公式在解题时也经常用到，因为对于解某些问题（例如不需要求时间的题目)，直接应用这个公式就比较方便一些。

2、初速度不等于零的匀加速直线运动

【12】设想一列火车在平直的轨道上用10米/秒的速度作匀速直线运动，后来行驶到一个斜坡，改以0.2米/秒²的加速度沿着斜坡向下作匀加速直线运动。它的速度是每秒钟增加0.2米/秒，因此它在各秒末的速度是：

第1秒末：v₁=10米/秒+0.2米/秒=10.2米/秒=10米/秒+0.2米/秒²×1秒；

第2秒末：v₂=10.2米/秒+0.2米/秒=10.4米/秒=10米/秒+0.2米/秒²×2秒；

第3秒末：v₃=10.4米/秒+0.2米/秒=10.6米/秒=10米/秒+0.2米/秒²×3秒；

……

第t秒末：v₄=10米/秒+0.2米/秒²×t秒。

【13】如果用v₀代表它原来作匀速直线运动的速度（即初速度），a代表加速度，则根据上面的分析，我们得到一般把vt写做v，则

【14】这就是初速度不等于零的匀加速运动的速度公式。可以看出，如果初速度等于零（即v₀=0），它就是公式(5·3)。

【15】我们再来推导它的路程公式。仿照公式(5·4)的推导，既然初速度是v₀，第t秒末的速度是v，则在这段时间t内的平均速度为所以它在这段时间内所通过的路程

【16】这就是初速度不等于零的匀加速直线运动的路程公式。可以看出，如果初速度等于零（即v₀=0），它就是公式(5·4)。

【17】公式(5·6)和(5·7)是初速度不等于零的匀加速直线运动的运动规律的数学表达式，应用这二个公式，就可以解决这种运动的有关问题。

【18】把公式(5·6)和(5·7)中的t消去后，可得

【19】匀减速直线运动和匀加速直线运动相反，速度在均匀地减小，即在任何相等时间内，速度的减小是相等的。速度既然减小，也就是加速度是负的。如果用a表示加速度的绝对值，那么，只要把上面匀加速运动的一系列公式中a前面的加号改成减号，就可以得到匀减速直线运动的公式【有关匀减速运动的计算也可以应用匀加速运动公式（即(5·6)、(5·7)、(5·8)，但a应以负值代入】，即：

【20】再有，从公式(5·6)和(5·7)中可以了解：应用上一章所讲的运动的合成，可以把初速度为v₀、加速度为a的匀加速直线运动，看作是一个速度为v₀的匀速直线运动和一个初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动的合运动。同样地，从公式(5·9)和(5·10)中可以看出，也可以把匀减速直线运动看作是一个速度为v₀的匀速直线运动和一个初速度为零、加速度为负a的匀加速直线运动的合运动。

例3.火车从车站出发作匀加速直线运动，当行驶到离车站600米远的地方，它的速度是27公里/小时。试计算所用的时间和它的加速度。

【21】做有关物体运动的习题时，往往有好几种解法，究竟用哪一种解法好，那要看哪种解法比较简便，就用哪种解法。本题所用的两种解法都是一样的，没有简繁可言。但用第二种解法时，读者必须注意，求t时不能用a的近似值0.05米/秒²代入，而是要用它的正确值15/320米/秒²代入，否则求出来的t也是一个近似值了。严格地讲，求t时应该这样地来做：

【22】读者还可以用其他方法来解，例如求出t后，用S=1/2at²求a。

例4.试证明：在初速度为零、加速度为a的匀加速运动中，(1)物体在1秒钟内、2秒钟内、3秒钟内……所通过的路程之比为1:4:9：……；(2)物体在第1秒钟内、第2秒钟内、第3秒钟内……所通过的路程之比为1:3:5:……。

【解】用公式S=1/2at²  。

(1)设S₁、S₂、S₃……分别表示物体在1秒钟内、2秒钟内、3秒钟内……所通过的路程，则

(2)设SⅠ、SⅡ、SⅢ……分别表示物体在第1秒钟内、第2秒钟内、第3秒钟内……所通过的路程。所谓物体在第2秒钟内所通过的路程，意思就是物体在第2秒这一秒时间内所通过的路程，它应该等于物体在最初2秒钟内通过的路程，减去物体在最初1秒钟内通过的路程。同样地，物体在第3秒钟内所通过的路程，应该等于物体在最初3秒钟内通过的路程，减去物体在最初2秒钟内通过的路程。因此，

【23】以上证明的两个关系，是物体作初速度等于零的匀加速直线运动的特点；一般地说，如果物体的运动具有这些特点，它就可能是初速度等于零的匀加速直线运动。

习题5-3

1、一个物体从静止开始作匀加速直线运动，加速度等于5厘米/秒²。试计算20秒钟后的速度和通过的路程。【1米/秒，10米】

2、一个物体从静止开始作匀加速直线运动，加速度是a=8厘米/秒²，经过一段时间之后，它的速度达到了v=80厘米/秒。试计算所用的时间和在这段时间内所通过的路程。【10秒，4米】

3、火车用54公里/小时的速度前进，如果现在突然紧急刹车使它停止，需要15秒钟以后才能使它停下来。试计算它所经过的路程和加速度。【112.5米，-1米/秒²】

4、让扔出去的石子在水平的冰面上滑动，刚开始滑动时，它的速度是12米/秒。如果石子的加速度是-0.6米/秒²，则石子从开始在冰上滑动到停止滑动，共需要多长时间？走了多少路程？滑动的平均速度是多少？[提示：应用匀减速运动公式时加速度a应取正值，即a=0.6米/秒²]【20秒，120米，6米/秒】

5、有骑自行车的甲、乙两人，甲用18公里/小时的初速度、-20厘米/秒²的加速度从山脚向山顶进行，乙用5.4公里/小时的初速度、0.2米/秒²的加速度从山顶向山脚进行。从山顶到山脚的距离是195米。如果甲、乙两人同时分别从山脚和山顶出发，问要经多少时间两人才相遇？两人相遇时各走了多少路程？【30秒，60米，135米】

6、子弹在刚要射入树干前的速度是400米/秒，射入树干后在20厘米深处停止。假定子弹在树干内的运动是匀减速的，计算子弹在其中的运动时间、加速度和在10厘米深处的速度。【0.001秒，-400000米/秒²，≈283米/秒】